正弦定理教學案例

《正弦定理教學案例》這是優秀的教學設計文章，希望可以對您的學習工作中帶來幫助！

　　1.1　正弦定理

　　教學目標：

　　掌握正弦定理及其證明，能夠運用正弦定理解決一些簡單的三角形度量問題;

　　2. 通過對任意三角形的邊長和角度關系的探索，培養學生的自主學習和自主探索能力;

　　3. 提供適當的問題情境，激發學生的學習熱情，培養學生學習數學的興趣.

　　教學重點：

　　正弦定理及其證明過程.

　　教學難點：

　　正弦定理的推導和證明.

　　教學過程：

　　一、問題情境

　　從金字塔的建造到尼羅河兩岸的土地丈量，從大禹治水到都江堰的修建，從天文觀測到精密儀器的制造，人們都離不開對幾何圖形的測量、設計和計算.測量河流兩岸兩碼頭之間的距離，確定待建隧道的長度，確定衛星的角度與高度等等，所有這些問題，都可以轉化為求三角形的邊或角的問題，這就需要我們進一步探索三角形中的邊角關系.

探索1　我們前面學習過直角三角形中的邊角關系，在Rt中，設，那么邊角之間有哪些關系?

，，，，，，，,,……

探索2　在Rt中，我們得到，對于任意三角形，這個結論還成立嗎?

　　二、學生活動

　　把學生分成兩組，一組驗證結論對于銳角三角形是否成立，另一組驗證結論對于鈍角三角形是否成立.

　　學生通過畫三角形、測量長度及角度，再進行計算，得出結論成立.

　　教師再通過幾何畫板軟件進行驗證(如圖1).對于驗證的結果不成立的情況，指出這是由于測量的誤差或者計算的錯誤造成的.引出課題——正弦定理.

　　圖1

　　三、建構數學

探索3　這個結論對于任意三角形可以證明是成立的.不妨設為最大角，若為直角，我們已經證明結論成立，如何證明為銳角、鈍角時結論成立?

　　師生共同活動，注意啟發、引導學生作輔助線，將銳角、鈍角三角形轉化為直角三角形，進而探索證明過程.經過討論，可歸納出如下證法.

證法一　若為銳角(圖2(1))，過點作于，此時有,，所以,即.

同理可得,所以.

 

　　(1) 　　　　　　圖2　　　　　　　(2)

若為鈍角(圖2(2))，過點作，交的延長線于，此時有，且，同理可得.綜上可得，結論成立.

證法二　利用三角形的面積轉化，先作出三邊上的高、、，則，，.

所以= =，每項同時除以，

得

　　探索4　充分挖掘三角形中的等量關系，可以探索出不同的證明方法，我們知道向量也是解決問題的重要工具，因此能否從向量的角度來證明這個結論呢?

在中，有，設為最大角，過點作于，(圖3)，于是，設與的夾角為，則，其中，當為銳角或者直角時，;當為鈍角時，.故可得，即.同理可得.因此.

　　這里運用向量的數量積將向量等式轉化為數量等式，我們運用不同的方法證明了三角形中的一個重要定理.

b

a

c

B

D

A

C

圖3

 

　　探索5　這個式子中包含哪幾個式子?每個式子中有幾個量?它可以解決斜三角型中的哪些類型的問題?

　　三個式子：

，，.

　　每個式子中都有四個量，如果已知其中三個可求出第四個.

　　正弦定理可以解決兩類三角形問題：

　　(1)已知兩角與任一邊，求其他兩邊和一角(兩角夾一邊需要先用三角形內角和定理求出第三角，再使用正弦定理);

　　(2)已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角(從而進一步求出其他的邊和角).

　　四、數學運用

例題 在中：

(1)已知，，，求，，;

(2)已知，，，求，，;

(3)已知，，，解這個三角形.

解　(1)由正弦定理得，即，

因此　　

所以　　，或.

由于　　

故　　　也符合要求，從而本題有兩個解或.

①當時，，

.

②當時，

.

(2)由正弦定理得，即

所以,或.

由于，故不符合要求，

從而本題只有一解

，

.

(3)由正弦定理得，所以無解.

　　學生思考：已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，為什么分別會出現兩解、一解和無解的情況呢?

　　鞏固練習：

1.(口答)一個三角形的兩角和邊分別是和，若角所對邊的長為8，那么角所對邊的長是 .

2.(板演) 在中：

(1)已知，求，;

(2)已知，求，.

　　3.(板演)根據下列條件解三角形：

(1)，，

(2)，，

　　五、回顧小結

　　本節課同學們通過自己的努力，發現并證明了正弦定理.正弦定理揭示了三角形中任意兩邊與其對角的關系，其關系式和諧、對稱.它可以解決斜三角型中這樣的幾類問題：已知三角形中兩邊與一邊的對角，可求另一邊的對角，進而求出其他的邊和角;已知三角形中的兩角與任意一邊，可求出其他的邊和角;已知三角形中兩邊與它們的對角這四個元素中的兩個元素，可研究出另外兩個元素的關系.

　　六、課外作業

　　課本P11習題1.1第1，2題.

正弦定理教學案例這篇文章共5162字。

相關文章

《四季之美優秀教學設計一等獎10篇》：第1篇四季之美優秀教學設計一等獎　　一、課文內容分析　　《四季之美》這篇課文選自日本平安時代中期女作家清少納言的作品《枕草子》?！墩聿葑印肥乔迳偌{言在宮中做官時起執筆，出宮后兩、三年內完成的，記載了作者對

《金色的魚鉤一等獎教學設計7篇》：第1篇金色的魚鉤一等獎教學設計　　在閱讀教學中，教師應緊緊抓住每篇課文結構特點，即課文的縱思路和橫思路來整體設計教學。課文的縱思路就是作者的寫作順序，文章的條理。它就像一棵樹的主干。課文的橫思路就是作者怎樣