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    《正弦定理》教學設計案例

    時間:2022-05-10字體大?。?em class="fontsize">A-A+

    《《正弦定理》教學設計案例》這是優秀的教學設計文章,希望可以對您的學習工作中帶來幫助!

      一、教學內容分析

      “正弦定理”是《普通高中課程標準數學教科書·數學(必修5)》(人教版)第一章第一節的主要內容,它既是初中“解直角三角形”內容的直接延拓,也是三角函數一般知識和平面向量等知識在三角形中的具體運用,是解可轉化為三角形計算問題的其它數學問題及生產、生活實際問題的重要工具,因此具有廣泛的應用價值。為什么要研究正弦定理?正弦定理是怎樣發現的?其證明方法是怎樣想到的?還有別的證法嗎?這些都是教材沒有回答,而確實又是學生所關心的問題。

      本節課是“正弦定理”教學的第一課時,其主要任務是引入并證明正弦定理,在課型上屬于“定理教學課”。因此,做好“正弦定理”的教學,不僅能復習鞏固舊知識,使學生掌握新的有用的知識,體會聯系、發展等辯證觀點,而且通過對定理的探究,能使學生體驗到數學發現和創造的歷程,進而培養學生提出問題、解決問題等研究性學習的能力。

      二、學生學習情況分析

      學生在初中已經學習了解直角三角形的內容,在必修4中,又學習了三角函數的基礎知識和平面向量的有關內容,對解直角三角形、三角函數、平面向量已形成初步的知識框架,這不僅是學習正弦定理的認知基礎,同時又是突破定理證明障礙的強有力的工具。正弦定理是關于任意三角形邊角關系的重要定理之一,《課程標準》強調在教學中要重視定理的探究過程,并能運用它解決一些實際問題,可以使學生進一步了解數學在實際中的應用,從而激發學生學習數學的興趣,也為學習正弦定理提供一種親和力與認同感。

      三、設計思想

      培養學生學會學習、學會探究是全面發展學生能力的重要前提,是高中新課程改革的主要任務。如何培養學生學會學習、學會探究呢?建構主義認為:“知識不是被動吸收的,而是由認知主體主動建構的。”這個觀點從教學的角度來理解就是:知識不是通過教師傳授得到的,而是學生在一定的情境中,運用已有的學習經驗,并通過與他人(在教師指導和學習伙伴的幫助下)協作,主動建構而獲得的,建構主義教學模式強調以學生為中心,視學生為認知的主體,教師只對學生的意義建構起幫助和促進作用。本節“正弦定理”的教學,將遵循這個原則而進行設計。

      四、教學目標

      1、知識與技能:通過對任意三角形的邊與其對角的關系的探索,掌握正弦定理的內容及其證明方法。

      2、過程與方法:讓學生從已有的知識出發,共同探究在任意三角形中,邊與其對角的關系,引導學生通過觀察、歸納、猜想、證明,由特殊到一般得到正弦定理等方法,體驗數學發現和創造的歷程。

      3、情感態度與價值觀:在平等的教學氛圍中,通過學生之間、師生之間的交流、合作和評價,實現共同探究、教學相長的教學情境。

      五、教學重點與難點

      重點:正弦定理的發現和推導

      難點:正弦定理的推導

      六、教學過程設計

      (一)設置情境

    利用投影展示:如圖1,一條河的兩岸平行,河寬。因上游暴發特大洪水,在洪峰到來之前,急需將碼頭A處囤積的重要物資及留守人員用船盡快轉運到正對岸的碼頭B處或其下游的碼頭C處,請你確定轉運方案。已知船在靜水中的速度,水流速度。

      【設計意圖】培養學生的“數學起源于生活,運用于生活”的思想意識,同時情境問題的圖形及解題思路均為研究正弦定理做鋪墊。

      (二)提出問題

      師:為了確定轉運方案,請同學們設身處地地考慮有關的問題,將各自的問題經小組(前后4人為一小組)匯總整理后交給我。

      待各小組將問題交給老師后,老師篩選了幾個問題通過投影向全班展示,經大家歸納整理后得到如下的五個問題:

      1、船應開往B處還是C處?

      2、船從A開到B、C分別需要多少時間?

      3、船從A到B、C的距離分別是多少?

      4、船從A到B、C時的速度大小分別是多少?

      5、船應向什么方向開,才能保證沿直線到達B、C?

      【設計意圖】通過小組交流,提供一定的研究學習與情感交流的時空,培養學生合作學習的能力;問題源于學生,突出學生學習的主體性,能激發學生學習的興趣;問題通過老師的篩選,確定研究的方向,體現教師的主導作用。

      師:誰能幫大家講解,應該怎樣解決上述問題?

      大家經過討論達成如下共識:要回答問題1,需要解決問題2,要解決問題2,需要先解決問題3和4,問題3用直角三角形知識可解,所以重點是解決問題4,問題4與問題5是兩個相關問題。因此,解決上述問題的關鍵是解決問題4和5。

    師:請同學們根據平行四邊形法則,先在練習本上做出與問題對應的示意圖,明確已知什么,要求什么,怎樣求解。

    生1:船從A開往B的情況如圖2,根據平行四邊形的性質及解直角三角形的知識,可求得船在河水中的速度大小及與的夾角:

    ,

    用計算器可求得

    船從A開往C的情況如圖3,,,易求得,還需求及,我還不知道怎樣解這兩個問題。

      師:請大家思考,這兩個問題的數學實質是什么?

      部分學生:在三角形中,已知兩邊和其中一邊的對角,求另一邊的對角和第三邊。

      【設計意圖】將問題數學化,有助于加深學生對問題的理解,有助于培養學生的數學意識。

      師:請大家討論一下,如何解決這兩個問題?

      生3:不知道。

      師:圖2的情形大家都會解,但圖3的情形卻有困難,那么圖2與圖3有何異同點?

    生4:圖2和圖3的情形都是已知三角形的兩邊和其中一邊的對角,求另一邊的對角和第三邊。但圖2中是直角三角形,而圖3中不是直角三角形,不能象在直角三角形中可直接利用邊角的關系求解。

      師:圖3的情形能否轉化成直角三角形來解呢?

    【設計意圖】通過教師的問題引導,啟發學生將問題進行轉化,培養學生的化歸思想,同時為下一步用特例作為突破口來研究正弦定理以及用作高的方法來證明正弦定理做好鋪墊。

    生5:能,過點D作于點G(如圖4),

    ,

      師:很好!采取分割的方法,將一般三角形化為兩個直角三角形求解。但在生活中有許多三角形不是直角三角形,如果每個三角形都劃分為直角三角形求解,很不便。能不能象直角三角形一樣直接利用邊角關系求解呢?三角形中,任意兩邊與其對角之間有怎樣的數量關系?

      【設計意圖】通過教師對學生的肯定評價,創造一個教與學的和諧環境,既激發學生的學習興趣,使緊接著的問題能更好地得到學生的認同,又有利于學生和教師的共同成長。

      (三)解決問題

      1、正弦定理的引入

      師:請同學們想一想,我們以前遇到這種一般問題時,是怎樣處理的?

      眾學生:先從特殊事例入手,尋求答案或發現解法??梢砸灾苯侨切螢樘乩?,先在直角三角形中試探一下。

      師:如果一般三角形具有某種邊角關系,對于特殊的三角形——直角三角形也是成立的,因此我們先研究特例,請同學們對直角三角形進行研究,尋找一般三角形的各邊及其對角之間有何關系?同學們可以參與小組共同研究。

      (1)學生以小組為單位進行研究;教師觀察學生的研究進展情況或參與學生的研究。

      (2)展示學生研究的結果。

      【設計意圖】教師參與學生之間的研究,增進師生之間的思維與情感的交流,并通過教師的指導與觀察,及時掌握學生研究的情況,為展示學生的研究結論做準備;同時通過展示研究結論,強化學生學習的動機,增進學生的成功感及學習的信心。

      師:請說出你研究的結論?

    生7:

      師:你是怎樣想出來的?

    生7:因為在直角三角形中,它們的比值都等于斜邊。

      師:有沒有其它的研究結論?(根據實際情況,引導學生進行分析判斷結論正確與否,或留課后進一步深入研究。)

    師:對一般三角形是否成立呢?

      眾學生:不一定,可以先用具體例子檢驗,若有一個不成立,則否定結論:若都成立,則說明這個結論很可能成立,再想辦法進行嚴格的證明。

    師:這是個好主意。那么對等邊三角形是否成立呢?

      生9:成立。

    師:對任意三角形是否成立,現在讓我們借助于《幾何畫板》做一個數學實驗,……

      【設計意圖】引導學生的思維逐步形成“情境思考”——“提出問題”——“研究特例”——“歸納猜想”——“實驗探究”——“理論探究”——“解決問題”的思維方式,進而形成解決問題的能力。

      2、正弦定理的探究

      (1)實驗探究正弦定理

      師:借助于電腦與多媒體,利用《幾何畫板》軟件,演示正弦定理教學課件。邊演示邊引導學生觀察三角形形狀的變化與三個比值的變化情況。

    結論:對于任意三角形都成立。

      【設計意圖】通過《幾何畫板》軟件的演示,使學生對結論的認識從感性逐步上升到理性。

      師:利用上述結論解決情境問題中圖3的情形,并檢驗與生5的計算結果是否一致。

      生10:(通過計算)與生5的結果相同。

      師:如果上述結論成立,則在三角形中利用該結論解決“已知兩邊和其中一邊的對角,求另一邊的對角和第三邊。”的問題就簡單多了。

      【設計意圖】與情境設置中的問題相呼應,間接給出了正弦定理的簡單應用,并強化學生學習探究、應用正弦定理的心理需求。

      (2)點明課題:正弦定理

      (3)正弦定理的理論探究

      師:既然是定理,則需要證明,請同學們與小組共同探究正弦定理的證明。

      探究方案:

      直角三角形——已驗證;

      銳角三角形——課堂探究;

      鈍角三角形——課后證明。

      【設計意圖】通過分析,確定探究方案。課堂只讓學生探究銳角三角形的情形,有助于在不影響探究進程的同時,為探究銳角三角形的情形騰出更多的時間。鈍角三角形的情形以課后證明的形式,可使學生鞏固課堂的成果。

    師:請你(生11)到講臺上,講講你的證明思路?

    生11:(走上講臺),設法將問題轉化成直角三角形中的問題進行解決。通過作三角形的高,與生5的辦法一樣,如圖5作BC邊上的高AD,則,所以

    ,同理可得

    師:因為要證明的是一個等式,所以應從銳角三角形的條件出發,構造等量關系從而達到證明的目的。注意:表示的幾何意義是三角形同一邊上的高不變。這是一個簡捷的證明方法!

      【設計意圖】點明此證法的實質是找到一個可以作為證明基礎的等量關系,為后續兩種方法的提出做鋪墊,同時適時對學生作出合情的評價。

    師:在三角形中還有哪些可以作為證明基礎的等量關系呢?

      學生七嘴八舌地說出一些等量關系,經討論后確定如下一些與直角三角形有關的等量關系可能有利用價值:①三角形的面積不變;②三角形外接圓直徑不變。在教師的建議下,學生分別利用這兩種關系作為基礎又得出了如下兩種證法:

    證法二:如圖6,設AD、BE、CF分別是的三條高。則有

    ,

    ,

    。

    證法三:如圖7,設是外接圓的直徑,則,

    同理可證:

      【設計意圖】在證明正弦定理的同時,將兩邊及其夾角的三角形面積公式

    及一并牽出,使知識的產生自然合理。

      師:前面我們學習了平面向量,能否運用向量的方法證明呢?

    師:任意中,三個向量、、間有什么關系?

    生12:

    師:正弦定理體現的是三角形中邊角間的數量關系,由轉化成數量關系?

      生13:利用向量的數量積運算可將向量關系轉化成數量關系。

    師:在兩邊同乘以向量,有,這里的向量可否任意?又如何選擇向量?

    生14:因為兩個垂直向量的數量積為0,可考慮讓向量與三個向量中的一個向量(如向量)垂直,而且使三個項的關系式轉化成兩個項的關系式。

      師:還是先研究銳角三角形的情形,按以上思路,請大家具體試一下,看還有什么問題?

    教師參與學生的小組研究,同時引導學生注意兩個向量的夾角,最后讓學生通過小組代表作完成了如下證明。

    證法四:如圖8,設非零向量與向量垂直。

    因為,

    所以

    所以,同理可得

      師:能否簡化證法四的過程?(留有一定的時間給學生思考)

    師:有什么幾何意義?

    生15:把移項可得,由向量數量積的幾何意義可知與在方向上的投影相等。

      生16:我還有一種證法

      師:請你到講臺來給大家講一講。(學生16上臺板書自己的證明方法。)

    證法五:如圖9,作,則與在方向上的投影相等,即

    故,同理可得

      師:利用向量在邊上的高上的射影相等,證明了正弦定理,方法非常簡捷明了!

      【設計意圖】利用向量法來證明幾何問題,學生相對比較生疏,不容易馬上想出來,教師通過設計一些遞進式的問題給予適當的啟發引導,將很難想到的方法合理分解,有利于學生理解接受。

      (四)小結

      師:本節課我們是從實際問題出發,通過猜想、實驗,歸納等思維方法,最后發現了正弦定理,并從不同的角度證明了它。本節課,我們研究問題的突出特點是從特殊到一般,利用了幾何畫板進行數學實驗。我們不僅收獲著結論,而且整個探索過程我們也掌握了研究問題的一般方法。

      (五)作業

      1、回顧本節課的整個研究過程,體會知識的發生過程;

      2、思考:證法五與證法一有何聯系?

      3、思考:能否借助向量的坐標的方法證明正弦定理?

      4、當三角形為鈍角三角形時,證明正弦定理。

      【設計意圖】為保證學生有充足的時間來完成觀察、歸納、猜想、探究和證明,小結的時間花得少且比較簡單,這將在下一節課進行完善,因此作業的布置也為下節課做一些必要的準備。

      七、教學反思

    為了使學生真正成為提出問題和解決問題的主體,成為知識的“發現者”和“創造者”,使教學過程成為學生主動獲取知識、發展能力、體驗數學的過程。我想到了“情境——問題”教學模式,即構建一個以情境為基礎,提出問題與解決問題相互引發攜手并進的“情境——問題”學習鏈,并根據上述精神,結合教學內容,具體做出了如下設計:①創設一個現實問題情境作為提出問題的背景(注:該情境源于《普通高中課程標準數學教科書·數學(必修4)》(人教版)第二章習題B組第二題,我將其加工成一個具有實際意義的決策型問題);②啟發、引導學生提出自己關心的現實問題,逐步將現實問題轉化、抽象成過渡性數學問題,解決過渡性問題4與5時需要使用正弦定理,借此引發學生的認知沖突,揭示解斜三角形的必要性,并使學生產生進一步探索解決問題的動機。然后引導學生抓住問題的數學實質,將過渡性問題引伸成一般的數學問題:已知三角形的兩條邊和一邊的對角,求另一邊的對角及第三邊。解決這兩個問題需要先回答目標問題:在三角形中,兩邊與它們的對角之間有怎樣的關系?③為了解決提出的目標問題,引導學生回到他們所熟悉的直角三角形中,得出目標問題在直角三角形中的解,從而形成猜想,然后使用幾何畫板對猜想進行驗證,進而引導學生對猜想進行嚴格的邏輯證明。

      總之,整個過程讓學生通過自主探索、合作交流,親身經歷了“情境思考”——“提出問題”——“研究特例”——“歸納猜想”——“實驗探究”——“理論探究”——“解決問題”——“反思總結”的歷程,使學生成為正弦定理的“發現者”和“創造者”,切身感受了創造的苦和樂,從而使三維教學目標得以實現。

    《正弦定理》教學設計案例這篇文章共17921字。

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